Introducción

MATERIAL DIDÁCTICO MULTIMEDIA PARA LA SOLUCIÓN AL CÁLCULO DEL INTERÉS COMPUESTO

INDICE

1.    Introducción

            1.1    Conceptos Básicos

            1.2    Periodo de capitalización

            1.3    Tasa de interés compuesto

            1.4    Monto Compuesto

            1.5    Monto compuesto con periodo de interés fraccionario

2.    Módulo de Cálculo del Interés Compuesto

3.    Ejemplos

 

1.    Introducción

El dinero y el tiempo son dos factores que se encuentran muy estrechamente ligados con la vida de las personas y los negocios. Cuando se generan excedentes de efectivo, se ahorran durante un periodo determinado a fin de ganar un interés que aumente el capital original disponible; en otras ocasiones, en cambio, se tiene la necesidad de recursos financieros durante un tiempo y se debe pagar un interés por su uso.

En periodos cortos por lo general se utiliza el interés simple. En periodos largos, sin embargo, se utilizará casi exclusivamente el interés compuesto.

            1.1    Conceptos Básicos

En el interés simple el capital original sobre el que calculan los intereses permanece sin variación alguna durante todo el tiempo que dura la operación. En el interés compuesto, en cambio, los interés que se van generando se van incrementando al capital original en periodos establecidos y, a su vez, van a generar un nuevo interés adicional para el siguiente lapso.

Se dice entonces que el interés se capitaliza y que se está en presencia de una operación de interés compuesto.

En estas operaciones, el capital no es constante a través del tiempo, pues aumenta al final de cada periodo por la adición de intereses ganados de acuerdo con la tasa convenida.

Esta diferencia se puede captarse con claridad por medio del ejemplo siguiente:

Ejemplo

Supóngase que se depositan $100 000 en una cuenta de ahorros que paga 10% de interés semestral (20% de interés anual):

 

¿Cuál será el interés ganado al cabo de 6 meses?

 

 

I= Cit

 

 

I= 100 000(0.10)(1)

 

 

I= 10 000

 

Supóngase que se depositan otros $100 000 en una cuenta de valores que paga el 20% de interés

convertible trimestralmente. ¿Cuál será el interés ganado al cabo de 6 meses? (Nota: la tasa de interés nominal es la misma en ambos casos: 5% trimestral = 20% anual.)

 
 

 

i trimestral

=

20% anual

=

5%

 
   

4 trimestres

 
             
   

1er. trimestre I

=

Cit

   
   

I

=

100 000(0.05)(1)

   

I

=

5 000

   
             
   

2o. trimestre I

=

(C + I)it

   
   

I

=

(100 000 + 5 000)(0.05)(1)

   

I

=

105 000

   
   

I

=

5 250

   
   

I total

=

I 1er. trimestre + I 2o. trimestre

   

I total

=

5 000 + 5 250

   

I

=

10 250

   
             
 

El interés en el segundo caso es superior al ganado en el primero pues, al acumular al fin del 1er. trimestre al capital original el interés ganado, el producto

del segundo trimestre será superior al del primero.

 

El capital en este caso se incrementa por la adición de los intereses al final de cada periodo y éstos, a su vez, se incrementan al ser calculados sobre una

base cada vez mayor. La cantidad acumulada al final de la operación es conocida como monto compuesto. La diferencia entre el monto compuesto y el capital original es el interés compuesto.

             

 

    1.2    Periodo de capitalización

El interés puede ser convertido en capital anual, semestral, trimestral y mensualmente, etcétera. Dicho periodo es denominado “periodo de capitalización”. Al número de veces que el interés se capitaliza durante un año de le denomina frecuencia de conversión.

Ejemplo

¿Cuál es la frecuencia de conversión de un depósito bancario que paga 5% de interés capitalizable trimestralmente?

 

un año

=

12 meses

=

4

 
 

un trimestre

3 meses

 
         

La frecuencia de conversión es igual a 4. El periodo de capitalización es trimestral

 

 

    1.3    Tasa de interés compuesto

La tasa de interés se expresa comúnmente en forma anual indicando, si es necesario, su periodo de capitalización.

            28% anual capitalizable mensualmente

            20% anual capitalizable semestralmente

            14% anual capitalizable trimestralmente

            Si el interés se expresa sin mención alguna al respecto a su capitalización, se entiende que esta ocurre anualmente.

Es muy importante que, para la solución de cualquier problema de interés compuesto, el interés anual sea convertido a una tasa que corresponda de acuerdo con el periodo de capitalización que se establezca; si el interés se capitaliza mensualmente debe transformarse el interés anual a interés mensual; si es trimestralmente, a interés trimestral, etcétera.

            El periodo de capitalización y la tasa de interés compuesto siempre deberán ser equivalentes. Así, en el ejemplo inicial, el interés de 20% anual es transformado en interés trimestral del 5% para hacerlo equivalente al periodo de capitalización que se estaba manejando.

            Dos conclusiones pueden establecerse en este momento:

a)         El interés compuesto es mayor que el interés simple. Esto resulta así, pues el primero gana intereses por sí mismo, en tanto que le segundo no.

b)         A mayor frecuencia de conversión, mayor será el interés que se obtenga siendo igual la tasa anual nominal; así, un deposito bancario que obtenga intereses de forma mensual tendrá mayor rendimiento que uno que los obtenga cada semestre.

    En forma más clara se observa el comportamiento del interés compuesto  en una gráfica. Considérese el siguiente ejemplo:

Ejemplo

Un depósito de $100 000 a 5 años. La tasa de interés es la misma en ambos casos: 20% anual. El interés simple éste no se capitalizara, en tanto que el interés compuesto lo hace cada año (Véase la gráfica 2.1 a continuación )

 

Año

 

Monto a interés simple

M = C(1 + it)

 

Monto a interés compuesto

M = C(1 + i)n

 
         
             
 

0

 

100 000

 

100 000

 
 

1

 

120 000

 

120 000

 
 

2

 

140 000

 

144 000

 
 

3

 

160 000

 

172 000

 
 

4

 

180 000

 

207 360

 
 

5

 

200 000

 

248 832

 
             
 

El monto a interés simple crece en forma aritmética y su gráfica es una línea recta Sus incrementos son constantes y el interés del quinto

año es igual al del primero. Su ecuación es la de una línea recta cuya pendiente o razón de incremento esta dada por la tasa de interés.

             

y = b + mx

     

M = C + It; It = (Ci)t

     
     

M = 100 000 + 20 000(t)

     
             

Gráfica 1.3.1

   
 

El monto a interés compuesto, en cambio, crece en forma geométrica y su gráfica corresponde a la de una función exponencial.

 
   

M = C(1 + i)n

   
   

M = 100 000 (1 + 0.20)n

 
 

Sus incrementos son variables. Como se puede apreciar en la gráfica, cada periodo presenta un incremento mayor al del periodo anterior. Su ecuación es al de una

línea curva que asciende a velocidad cada vez mayor

 

    1.4    Monto Compuesto
El monto compuesto, como ya se había establecido, es el resultado que se obtiene al incrementar al capital original el interés compuesto. Si se dispone de un capital C y se invierte en un banco y se desea conocer el monto M del cual se dispondrá al final del periodo, sólo deberá agregársele el interés I ganado.


M = C + I
pero I = Cit
cuando t = 1, I = Ci
así M = C + Ci que factorizando
M = C (1 + i)

Como puede verse, el monto de un capital al final del periodo se obtiene multiplicando dicho capital por el factor (1 + i). De esta manera, al final del segundo periodo se tiene que:

M = C (1 + i) (1 + i)
Capital al
iniciar el
2º. periodo

M = C (1 + i)2

Al final del tercer periodo se tiene:

M = C (1 + i)2 (1 + i)

y así sucesivamente. Esta sucesión de montos forma una progresión geométrica cuyo n-ésimo término es igual a:

M = C (1 + i)n

Esta ecuación es conocida como fórmula del monto a Interés compuesto.

Ejemplo

Se depositan $500.00 en un banco en una tasa de interés de 18% anual capitalizable mensualmente ¿Cual será el monto acumulado en 2 años?

Solución:

Como se estableció previamente con la fórmula del monto a Interés Compuesto, se calcula mediante una ecuación:

M = C (1 + i)n

Se destaca nuevamente que la definición de periodo debe ser la misma para i y para n. Así, para calcular la tasa de interés mensual, se divide la tasa anual entre la frecuencia de conversión:

i

=

tasa de interés anual

frecuencia de conversión

i

=

18

=

1.5 %

 

12

Para determinar n, se multiplica el lapso en años por la frecuencia de conversión:

 

n

=

2 (12)

 

n

=

24

 

       

así, M= 500 (1 + 0.015)24

       
 

En este momento surge la pregunta de cómo evaluar (1 + 0.015)24

Existen tres alternativas:

a) Utilizar papel y lápiz y realizar la operación 24 veces. Resulta lenta y poco práctica.

b) Resolver la ecuación utilizando logaritmos.

c) Emplear una calculadora electrónica. Esté es el medio más práctico y preciso.

 

Factor de monto a interés compuesto = ( 1+ 0.015 )24 = 1.429503

 

M

=

5000 (1.429503)

 
 

M

=

714.75

   

En dos años, la inversión de $500.00 se transformará en un monto de $714.75 por la generación de un interés compuesto de $214.75.

Ejemplo

 

Se obtiene un préstamo bancario de $15 000 a plazo de un año y con un interés de 12% convertible trimestralmente ¿Cuál es el monto que deberá

liquidarse?

Solución

Se determina primero la tasa de interés por periodo de conversión:

 

i

=

0.12

=

0.03

 

4

 

El número de periodos de capitalización n es igual a: 1 año x 4 = 4

 
 

M

=

C (1 + i)n

 

M

=

15 000(1 + 0.03)4

 

M

=

15 000(1.125509)

 

M

=

16 882.63

 
 

Deberá liquidarse al banco la cantidad de $ 16 882.63

 

    1.5    Monto compuesto con periodo de interés fraccionario

La fórmula M = C (1 + i)n se deriva la suposición de que n es entero. En teoría puede aplicarse también en el caso de que n sea fraccionario, pero para resolverlo sólo puede recurrirse al uso de logaritmos o de la calculadora.

Ejemplo

Se decide liquidar el préstamo del ejemplo anterior de forma anticipada habiendo transcurrido 7 meses y medio. ¿Cual es la cantidad que debe pagarse?

Solución:

 

7.5 / 3 meses

=

2.5 trimestres

 

M

=

15 000(1 + 0.03)2.5

 

M

=

15 000(1.076696)

 

M

=

16 150.43

     
 

Una forma práctica de resolverlo es determinar el monto compuesto correspondiente a los periodos completos de conversión a la tasa estipulada.

 
   

I comp  

I simple

 

M

=

C(1 + i)n(1 + it)

 

M

=

15 000(1 + 0.03)2 [1 + (0.03)(0.5)]

 

M

=

15 000(1.060900)(1.015)

 

M

=

16 152.20

 

La diferencia resultante, dependiendo de la tasa de interés y del tiempo, puede llegar a ser significativa, por lo que siempre que sea posible se recomienda el

empleo de la fórmula M = C(1 + i)n

 

Ejemplo

Se contrata un préstamo bancario de habitación y avío por 150 000 pesos. El plazo de pago es de 3 años. La tasa de interés es de 20% anual convertible semestralmente.

 

¿Cuál es la cantidad que deberá liquidarse si se decide cancelarlo en forma anticipada a los 15 meses?

Solución

 

Por el método exacto

 

M

=

C(1 + i)n

 
 

M

=

150(1 + 0.10)2.5

 
 

M

=

150(1.269059)

 
 

M

=

   
 

Deberá liquidarse $190.358810

 
 
 

Por el método aproximado

 
 

M

=

C(1 + i)n (1 + it)

 

M

=

150000(1 + 0.10)2 [1 + 0.10(3/6)]

 

M

=

150000(1.10) [1 + 0.10(0.50)]

 

M

=

150000(1.10)(1.05)

 

M

=

190.57500

 

En este caso la diferencia entre un método y otro importa $216.19

 

 

         
Capital  
Interés  
Tiempo